Inleiding in de verzamelingenleer

Wat hebben alle mensen gemeen? Wat kunnen we zeggen over ieder individu die tot de groep ‘mensen’ behoort? We kunnen bijvoorbeeld zeggen dat alle mensen sterfelijk zijn. Hieruit volgt logischerwijs dan ook dat ieder individu van de groep ‘mensen’ de eigenschap heeft dat hij of zij sterfelijk is. Met andere woorden: een mens dat niet sterfelijk is, bestaat niet.

 

Redeneringen zoals bovenstaande kunnen tot de verzamelingenleer gerekend worden. De verzamelingenleer is te vergelijken met wiskunde, waarbij niet al te ingewikkelde gevolgtrekkingen gecontroleerd kunnen worden door middel van taal en diagrammen. Een klein lijstje van termen die gebruikt worden binnen de verzamelingenleer en hun betekenis:

• In plaats van een ‘groep’ spreken we van een verzameling;
• In een verzameling bevinden zich individuen, beter bekend als elementen;
• Een verzameling representeert een aantal elementen met een bepaalde gezamenlijke eigenschap, zoals de eigenschap ‘mens’ of ‘sterfelijk’;
• Het gaat in de verzamelingenleer om logische gevolgtrekkingen, waarbij een conclusie wordt getrokken uit een aantal aannames, ook wel premissen genoemd.

Een van de bekendste voorbeelden van een logische gevolgtrekking is de volgende:

Premisse 1: Alle mensen zijn sterfelijk
Premisse 2: Socrates is een mens
Conslusie: Socrates is sterfelijk

 

Wat de verzamelingenleer vooral moeilijk maakt, is de abstracte notatie en het begrijpen wat er precies mee bedoeld wordt. Verzamelingen worden in hoofdletters weergegeven (zo kan ‘A’ staan voor ‘mens’).  Individuen worden weergegeven in kleine letters (zo kan ‘x’ staan voor ‘Socrates’). Bovenstaand voorbeeld kan dan als volgt herschreven worden:

Alle A zijn B
x is een A
Dus: x is B

 

Dergelijke gevolgtrekkingen kunnen worden weergegeven in een diagram, het zogenaamde venndiagram. In een venndiagram staat een cirkel voor een verzameling van elementen met eenzelfde eigenschap, en wordt die kenmerkende eigenschap bij die cirkel geschreven. Zie:

 

Hieruit kun je makkelijk afleiden dat de elementen in 1 de eigenschap A hebben, maar niet B. De elementen in 2 hebben beide eigenschappen, en de elementen in 3 hebben alleen eigenschap B. In het voorbeeld zagen we dat ‘Alle A zijn B’, wat inhoudt dat er geen elementen in 1 kunnen zitten. Als dat namelijk wel het geval zou zijn, dan zou dat element wel eigenschap A hebben, maar niet eigenschap B, wat de eerste bewering (premisse) onjuist maakt. x (in dit geval Socrates) kan in het voorbeeld dus alleen in 2 zitten (hij is namelijk zowel een mens als sterfelijk).

 

We zien dat een conclusie een logisch (of geldig) gevolg is van een aantal premissen, als geldt dat onder alle omstandigheden waarin de premissen allen waar zijn, de conclusie ook noodzakelijk waar moet zijn.

Hieruit volgt uiteraard ook het tegenovergestelde: een conclusie is geen logisch (of geldig) gevolg van een aantal premissen, als er een situatie te bedenken is waarin de premissen waar zijn, maar de conclusie onwaar.

 

Hoe weten we of een premisse of een conclusie waar is? We kunnen daarvoor natuurlijk naar de wereld om ons heen kijken. Maar de verzamelingenleer probeert niet zozeer ware uitspraken te doen over de wereld om ons heen, maar over de geldigheid van een gevolgtrekking. Met andere woorden: wij zijn nu niet bezig met het controleren van de waarheid van de premissen (zijn alle mensen wel sterfelijk?), maar met de structuur van de gevolgtrekking zelf. Dit houdt in dat in de verzamelingenleer een ‘wereld’ voorgesteld kan worden die niet per se overeen hoeft te komen met de werkelijke wereld (abstract hè?). De volgende gevolgtrekking is volgens de regels van de verzamelingenleer ook geldig:

 

Alle aardbeien zijn paars                                          Alle A zijn B
Er is een aardbei die een koe is                               Er is een A die C
Dus: er is een koe die paars is                                 Er is een C die B

 

Bij dit voorbeeld zien we wederom een aantal nieuwe dingen. Zo hebben we hier drie verschillende eigenschappen, namelijk ‘aardbei’, ‘paars’ en ‘koe’. Dit betekent dat we in een venndiagram drie cirkels zouden moeten opnemen (zie verderop). Daarnaast zien we ‘er is een’ in plaats van ‘alle’. ‘er is een’ en ‘alle’ noemen we kwantoren; woorden die iets zeggen over de strekking van de eigenschappen. Dit zijn de enige twee kwantoren die hier relevant zijn. Verder kunnen we nog voorbeelden verzinnen met ‘geen’ of ‘niet’: de zogenaamde negaties. Zo kunnen we nagaan dat ‘er is geen aardbei die een koe is’ hetzelfde is als ‘alle aardbeien zijn geen koe’.

Omdat ik hier slechts een beknopte inleiding van de verzamelingenleer wil geven, zal ik slechts twee voorbeelden uitwerken in een venndiagram. Allereerst het aardbeienvoorbeeld:

De donkergrijze gebieden geven aan dat daar geen elementen kunnen zitten. De witte gebieden geven aan dat er wel elementen kunnen zitten, maar dat dit niet noodzakelijkerwijs hoeft. Het kan ook zijn dat er over dat gebied geen uitspraak is gedaan. Dan nu een venndiagram van de volgende gevolgtrekking:

 

Geen politicus is fatsoenlijk                                      Geen A is B
Geen student is politicus                                          Geen C is A
Dus: alle studenten zijn fatsoenlijk                          Alle C zijn B

We zien hier dat de conclusie niet logisch volgt uit de premissen: het is namelijk mogelijk dat er een student is die niet fatsoenlijk is (je kunt een element in C plaatsen die niet ook in B zit, zoals ‘x’). Deze gevolgtrekking is dus niet geldig.

 

Voor deze beknopte cursus heb ik het simpel gehouden wat betreft de gebruikte symbolen in de verzamelingenleer. Deze leer kent – net als de ‘+’, ‘-‘, ‘/’, etc. bij de wiskunde – zijn eigen symbolen. Ik ga ze hier niet behandelen, maar als je verder wilt in de verzamelingenleer kan ik je aanraden om te kijken bij de lijst van wiskundige symbolen op Wikipedia, waar ook een sectie ‘verzamelingenleer’ is.

 

Bron: Handboek ‘Inleiding Logica’ (2009), dr. Vincent van Oostrom en dr. Herman Hendriks, Universiteit Utrecht.

Zie ook: ‘Logica voor alfa’s en informatici‘ (1989), Jan van Eijck & Elias Thijsse, Academic Service, Schoonhoven.