De mysteries van oneindigheid kunnen ons tot voorbij de grenzen van onze wiskunde brengen – en mogelijk compleet nieuwe werelden openleggen. Zou de ontwikkeling van kwantumzwaartekrachtstheorie stagneren omdat onze wiskunde incompleet is? En is Ultimate L de wiskundige theorie van alles?
Continuümhypothese na eeuw nog steeds onopgelost
David Hilbert, een wiskundige die leefde rond het begin van de twintigste eeuw, gaf op een congres van wiskundigen een lijst van 23 onopgeloste vraagstukken. Een eeuw later zijn veel van deze wiskundige vraagstukken opgelost, of is vastgesteld dat ze te vaag geformuleerd zijn om te beantwoorden. Anderen, zoals de Riemann hypothese, zijn dat nog steeds dat: een hypothese. (Kan je deze bewijzen, dan staat er een miljoen dollar op je te wachten. Dus wees er snel bij, voor de dollars waardeloos worden).
Het allerbelangrijkste vraagstuk is echter blijven liggen: de continuümhypothese. In het kort komt deze neer op de stelling, dat er geen verzameling denkbaar is met een aantal tussen het aantal gehele getallen (…, -1, 0, 1, 2, 3 …, bijvoorbeeld) en het aantal reële getallen (- 0,1; 0.01; √2; Ï€ etc.) Op het eerste gezicht lijkt dit een vreemde vraag. Immers: van beide verzamelingen is het aantal oneindig groot. De depressieve wiskundige Georg Cantor heeft echter in de negentiende eeuw aangetoond dat er verschillende oneindigheden zijn. Dit deed hij met een vernuftige truc: hij zette alle denkbare reële getallen, uitgeschreven als decimale breuk, op een rij, pakte een diagonaal en telde vervolgens bij elke decimaal 1 op (dus 0,112290 wordt 0,223301). Stel dat het getal dat zo ontstaat voorkomt in de lijst, dan moet het op een gegeven moment zichzelf kruisen. En dat kan niet, want per definitie is op dat punt de decimaal 1 groter dan die van het getal.
Zo komen we op meer intuïtief merkwaardige beweringen. In een enkel kort lijnstukje zitten meer punten dan er gehele getallen zijn en evenveel punten als in een vlak, een bol of wat dat betreft ons universum. Helaas bleken alle pogingen om de continuümhypothese te bewijzen tot nu toe vruchteloos. Het is al wel gelukt om aan te tonen dat er precies evenveel gehele getallen zijn als positieve gehele getallen, even getallen et cetera. Als deze verzamelingen maar oneindig zijn en deelverzamelingen van het aantal gehele getallen. De grootte van deze verzamelingen wordt aangeduid met een kardinaalgetal. Het aantal natuurlijke getallen is alef nul, het aantal reële getallen alef een enzovoort.
Of toch wel?
140 jaar nadat de continuümhypothese voor het eerst is geformuleerd, gelooft Hugh Woodin, een vooraanstaande Amerikaanse wiskundige dat hij dit probleem gekraakt heeft. Hiervoor gebruikte hij niet de wiskunde zoals we die kennen, maar een nieuwe, logisch veel strenger opgebouwde structuur die hij “ultimate L” heeft gedoopt.
We moeten volgens Woodin uit onze gangbare wiskundige wereld stappen en naar een hoger vlak (de man komt uit Californië) springen. Woodin is al geëerd door een ladder op de toren der oneindigheden naar hem te noemen. Dit niveau bevat gigantische getallen, genaamd Woodin kardinalen. Hiermee vergeleken valt zelfs alef één, dat de hoeveelheid reële getallen en aantal punten op een lijn aangeeft, in het niet.
Verzamelingtheorie wordt vervangen door ultimate L
Woodin en andere wiskundigen ontdekten bepaalde patronen in reële getallen, universele Baire verzamelingen, die tevoorschijn springen in verschillende L-type werelden. Deze patronen veranderen op subtiele wijze de geometrie die mogelijk is in die wereld (gedragen zich dus als “natuurwetten”) en lijken een vorm van identificerende code voor deze werelden te zijn. Door de patronen als het ware in elkaar te weven, losten de grenzen die er tussen de verschillende werelden bestonden op en dook er een kaart van een wiskundig superuniversum op. Woodin noemde dit superuniversum ultimate L.
Ultimate L heeft een aantal prettige eigenschappen. Zo kan met behulp van Ultimate L worden bekeken of een bepaalde wereld consistent is met Ultimate L of niet. Ultimate L impliceert in het bijzonder dat Cantors hypothese waar is. Er is niets tussen de (telbare) gehele getallen en het continuüm. Een onverwachte uitkomst voor Woodin: tien jaar daarvoor had hij nog beweerd dat de continuümhypothese waarschijnlijk niet klopte. Ook kan de beruchte incompleetheidsstelling van Gödel uit veel wiskundige domeinen worden verjaagd.
Maar klopt ultimate L wel? Wat zijn de gevolgen?
Niet alle wiskundigen zijn overtuigd. Volgens anderen zijn er veel denkbare logische constructies om de wiskunde die we tot nu toe ontdekt hebben mee te formuleren. Zij denken dat er delen van het wiskundige multiversum zijn waarin de continuümhypothese waar is en andere delen waarin deze niet klopt. Weer anderen denken dat deze werelden netjes ondergebracht kunnen worden in Ultimate L. Zal Ultimate L ons de wiskundige structuur bieden waarmee we eindelijk de natuurkundige problemen kunnen kraken die ons al bijna een eeuw belemmeren om kwantummechanica en de relativiteitstheorie samen te voegen? Al eerder bleek een wiskundige doorbraak, de differentiaalrekening, te leiden tot een doorbraak in de natuurkunde: de zwaartekrachtswetten van Newton. Dus die kans is heel wel aanwezig.
Lees ook:
Leven we in een wiskundig stelsel?
Bron:
New Scientist