We leven in een heelal met drie ruimtelijke dimensies. Je driedimensionale voorwerpen voorstellen is dus niet erg moeilijk. Toch is dat niet bepaald het hele verhaal. Een zuiver driedimensionaal voorwerp zou namelijk maar een ondeelbaar kort ogenblik bestaan, omdat de uitgebreidheid in de vierde tijdachtige dimensie nul is. Zuiver driedimensionale voorwerpen kunnen we dus niet zien. We kunnen wel uiteraard driedimensionale modellen maken of de drie ruimtelijke dimensies beschrijven (waarbij we de tijddimensie negeren).
Een aanvullend probleem is dat de voorstelling die we van het driedimensionale universum hebben niet overeenkomt met de werkelijkheid. Zo is in ons (relativistische) universum de snelheid maximaal gelijk aan de lichtsnelheid, c. Dit heeft ook gvlgen voor de manier waarop we (bewegende) voorwerpen waarnemen.
Het grootste deel van ons leven brengen we door op het aardoppervlak, dus bewegen we ons ruwweg in twee dimensies. Het aardoppervlak is eindig in grootte, maar onbegrensd, het gevolg van de kromming van het aardoppervlak in de derde dimensie. Wiskundig gezien is de tweede dimensie de ruimte die wordt opgespannen door twee niet-evenwijdige lijnen die elkaar snijden. Een object dus met dikte nul. Ook een grafiek waarin twee grootheden tegen elkaar af worden gezet is in feite een tweedimensionale ruimte – waarvan we gebruik kunnen maken door deze op een plat vlak in beeld te brengen. Maar dit is niet het hele verhaal…
Hoe zou het zijn om in een tweedimensionele wereld te leven? Adwin Abbott werkte het idee in de negentiende eeuw uit in een vermakelijke roman. Omdat het copyright al meer dan honderd jaar verlopen is, is het nu gratis te downloaden als ebook. Klik hier. Het leven van de tweedimmensionale held Vierkant omt totaal op zijn kop te staan als hij kennis maakt met Kubus. In een tweedimnsionale wereld roepen dat er een derde dimensie is, is uiteraard niet goed voor je gezondheid. Vierkant wordt dan ook als ketter veroordeeld tot de doodstraf, maar gelukkig redt Kubus zijn leven door gebruik te maken van de eigenaardigheden van de twee- en driedimensionale ruimte.
Het getal nul is, wel, niets. Veel oude beschavingen vonden de nul zo eng, dat zij het getal weerden uit hun wiskunde. Toch blijkt de nul interessanter dan veel mensen zich realiseren. In feite is de nul, eigenlijk een heel groot getal… In deze video een nadere kennismaking met de kleinst denkbare dimensie, de punt.
De nul is de basis van ons getallenstelsel volgens de natuurlijke getallentheorie TNT en voor computerprogrammeurs het begin van hun getallenstelsel. De laagst denkbare bit heeft waarde 0. Ook een punt heeft dimensie nul en wordt door Euclides gedefinieerd als dat, wat geen lengte, breedte en hoogte heeft. Het heelal begon volgens veel theorieën met een punt, dus met nul dimensies.
De algemene relativiteitstheorie voorspelt het bestaan van zwaartekrachtsgolven: verstoringen in ruimte-tijd die zich voortplanten. Maar wat gebeurt er als twee van deze golven elkaar raken? Heel vervelende dingen, althans wiskundig gezien, zo blijkt uit nieuw onderzoek. Is de algemene relativiteitstheorie aan vervanging toe?
Zwaartekrachtsgolven die elkaar kruisen leveren singulariteiten op, punten waar de natuurkunde onvoorspelbaar wordt. Bron: Universiteit van Genève
Singulariteit
Wiskundigen aan de Universiteit van Californië, Davis, hebben een nieuwe manier ontdekt waarop ruimte-tijd kan worden vervormd – althans in theorie. Blake Temple, hoogleraar wiskunde aan Davis, en twee onderzoekers in opleiding, Vogler en Reintjes, tonen aan dat ruimte-tijd niet lokaal plat kan zijn als twee schokgolven met elkaar botsen. Dit is dus een nieuwe singulariteit in de algemene relativiteitstheorie.
Lokale platheid is uiterst belangrijk in een natuurkundige theorie. Als je een bepaalde verstoring, bijvoorbeeld een golfbeweging, uitvergroot, dan wordt de golf veel vlakker. Ga je tot oneindig kleine afstand, dan lijkt de golf een plat vlak. Het gevolg is dat er daardoor geen onhandelbare limieten optreden bij natuurkundige processen. Een zeer kleine verschuiving in positie heeft dan geen extreem groot gevolg. Gebeurt dat wel, dan ontstaat een zogeheten singulariteit. Een wiskundige functie waarbij op een gegeven moment door nul wordt gedeeld, bijvoorbeeld f(x)=1/x, kent een punt (in dit geval nul), waarbij de functie niet gedefinieerd is, of oneindigheden oplevert: nul is voor f(x)=1/x dus een singulariteit. Juist dit is in strijd met een elementaire aanname van de algemene relativiteitstheorie, namelijk dat de ruimte lokaal plat is.
Niet-afgeschermde singulariteit
Er komen meer singulariteiten in de algemene relativiteitstheorie voor, bijvoorbeeld in het binnenste van een zwart gat, maar deze worden ‘afgeschermd’ door een waarnemingshorizon. Niets kan de waarnemingshorizon passeren, behalve dan het zwarte gat in. Daar merken we dus weinig van.
Het vervelende aan deze singulariteit is dat deze ‘naakt’ is, zonder omringende waarneminghorizon dus. Dat betekent dat de wereld op dat punt onvoorspelbaar is. Natuurkundige wetten geven op dit punt onzinnige uitkomsten.
Twee botsende schokgolven
Een schokgolf produceert een abrupte verandering in een vloeistof. Een enkele schokgolf kan echter niet ruimtetijd verregaand verstoren. Vogler simuleerde twee botsende schokgolven. Reintjes toonde echter aan op basis van Voglers werk dat de vergelijkingen die twee botsende zwaartekrachtsgolven beschrijven, een nieuw type singulariteit opleveren, een “regulariteits-singulariteit”. Een opmerkelijke uitkomst. Zwaartekrachtsgolven zijn zo zwak dat we ze tot nu toe nog steeds niet waargenomen hebben, al worden ze wel voorspeld door de algemene relativiteitstheorie. Het is heel vreemd dat twee zo zwakke verschijnselen een zo sterke vervorming in ruimtetijd kan opwekken. De onderzoekers veronderstellen eveneens dat deze singulariteiten zich kunnen vormen in sterren, als daar zwaartekrachtsgolven doorheen bewegen. Op dit moment zijn de onderzoekers bezig met vervolgonderzoek dat moet aantonen hoe deze singulariteiten zich manifesteren, zodat met waarnemingen deze theorie kan worden bevestigd of verworpen.
Relativiteitstheorie aan vervanging toe
Singulariteiten zijn in feite zwakke punten van een natuurkundige theorie. Dat zelfs bij een zeer zwak verschijnsel als overlappende zwaartekrachtsgolven al singulariteiten optreden, wijst erop dat de beschrijving van de natuur zoals gegeven door de algemene relativiteitstheorie gebrekkig is. We beschreven al eerder een ambitieus project van enkele Spaanse natuurkundigen waarbij zij probeerden een zwart gat in kwantumtermen te beschrijven. Omdat een zwart gat bij uitstek een relativistisch object is, ontstaat zo als het ware een ‘steen van Rosetta‘ om de relativiteitstheorie in een kwantumtheorie te vertalen. Een tweede hoopgevende ontwikkeling is de ontdekking van een Higgsachtig boson. Mogelijk kan dit deeltje – of deeltjes die later ontdekt worden – dienen om ruimtetijd te beschrijven als een kwantumcondensaat van deze deeltjes. Het zou dan afgelopen zijn met de singulariteiten. Die komen namelijk niet voor in een kwantumtheorie: deeltjes gedragen zich hier als waarschijnlijkheidswolken.
Nu een onderzoek aan ribosomen de invloedrijke RNA-wereld hypothese een zware slag heeft toegebracht, komt er weer meer belangstelling voor alternatieve theorieën. Zoals de autokatalytische verzameling biogenese, een variant van de oersoeptheorie, die stelt dat alles begon met stofwisseling.
Deze fractal laat zien dat met enkele simpele regels zeer complexe uitkomsten mogelijk zijn.
Oersoep
Ook nu nog is de vraag hoe het leven is ontstaan en waar – op aarde of daarbuiten – onbeantwoord. Eén van de indringendste vragen is het ‘blinde horlogemaker’-dilemma: hoe kan een complex systeem als een levende cel compleet uit het niets ontstaan? Weliswaar is RNA in staat zichzelf onder zeer gunstige omstandigheden te kopiëren, de grondslag voor de RNA wereld hypothese, maar deze omstandigheden – een hoge concentratie zuivere RNA-nucleotiden (RNA-bouwstenen)- komen voorzover we weten alleen in laboratoria voor. Er moet dus een basissysteem zijn geweest dat de juiste ingrediënten bijeenbracht en bijeenhield, stellen de aanhangers van de verschillende oersoep hypotheses. Dat systeem bestaat uit een verzameling moleculen die zichzelf in stand houdt en uitbreidt. Een onder theoretici geliefde variant gaat bijvoorbeeld uit van een zwavel-ijzer systeem zoals dat zich in onderzeese zwavelwaterstofrijke bronnen vormt. Dit eenvoudige chemische proces kan de aandrijfbron zijn geweest waaromheen zich een complexe biochemie ging ontwikkelen.
Op het eerste gezicht lijkt een levende soep moeilijk voorstelbaar, maar in feite is dit precies wat er in een cel gebeurt, al zijn de moleculen in een cel hooggespecialiseerd. Zou het leven begonnen zijn als een soep met RNA-nucleotiden, aminozuren en ketens van aminozuren: eiwitten, die zich door chemische evolutie ontwikkelde tot een levensvatbare cel?
Autokatalytische verzameling Volgens één theorie kunnen groepen moleculen autokatalytische verzamelingen (Engels: autocatalytic sets) vormen. Een simpel voorbeeld is de autokatalytische Belousov-Zhabotinsky reactie, waarbij je meerdere chemische golven door het mengsel ziet gaan tot de chemische energie uitgeput is. Zie onderstaande video.
Het Belousov-Zhabotinsky systeem bestaat uit maar enkele chemicaliën dus is erg eenvoudig. Er zijn ook andere en ingewikkelder systemen bekend. Voorwaarde bij al deze systemen is dat deze chemisch ver uit evenwicht zijn.
Wiskundige verrassingen
Autokatalytische verzamelingen blijken ook wiskundig zeer interessant. Stuart Kauffman van de Amerikaanse Universiteit van Vermont in Burlington en enkele collega’s nemen een kijkje in de algemene wiskundige eigenschappen van autokatalytische verzamelingen. Hierbij kwamen ze tot een verbazingwekkende conclusie, met opmerkelijke gevolgen voor ons begrip van complexiteit, evolutie en emergentie. Om te beginnen tonen ze wiskundig aan dat een autokatalytische verzameling samengesteld kan zijn uit verschillende autokatalytische deelverzamelingen van verschillende types. Sommige van deze kunnen overlappen. Zo is een ecosysteem, bijvoorbeeld een mangrovebos, een autokatalytische verzameling die is samengesteld uit ontelbare organismen (ook weer autokatalytische verzamelingen van cellen, die ook weer uit autokatalystische celonderdelen bestaan… enfin). Je kan zeggen dat een mangrovebos zich verspreidt naar plekken waar de garnalenkwekers even wegblijven. Dit wisten we al uit de praktijk, maar nu is dat voor het eerst ook wiskundig aangetoond. Wat het domein meteen tot werkelijk onvoorstelbare reikwijdte oprekt.
Spontaan ontstaan van ingewikkelde structuren
De auteurs gaan door met te laten zien hoe evolutie kan werken op een enkele autokatalytische verzamelingen, wardoor er nieuwe autokatalytische verzamelingen ontstaan die onderling afhankelijk van elkaar zijn. Dit proces creëert een omgeving waarin nieuwe autokatalytische verzamelingen tot ontwikkeling kunnen komen. Zoals de organellen in een cel, bijvoorbeeld. Oftewel: een ingewikkelde organisatievorm ontstaat uit een eenvoudige organisatievorm. Emergentie in optima forma. Let wel, in een eenvoudig wiskundig systeem.
‘Complex leven wiskundig onvermijdelijk’
Interessant hier is dat het hier gaat om een abstract-wiskundige analyse. Hierin is aangetoond dat letterlijk elk denkbaar systeem dat de wiskundige structuur van een autokatalytische verzameling heeft, zich tot complex systeem al ontwikkelen. Onafhankelijk van de onderliggende aard. Met andere woorden: dit proces kan zich in principe voordoen in een chemische soep, in een computer, in een verzameling mensen, in (immers non-lineaire) zwaartekrachtsvelden of in de elektromagnetische wervels rond een pulsar. Als er maar sprake is van een autokatalytische verzameling, dus elementen die samen een stabiel, zichzelf in standhoudend systeem vormen. En inderdaad, chemici hebben chemische autokatalytische verzamelingen ontdekt die zich precies zo gedragen. Die elementen kunnen zelf ook weer complex zijn, zoals (door Kaufmann c.s. genoemd) bacteriën.
Economie als zich evoluerende autokatalytische verzameling
Ook onze economie is in feite een autokatalytische verzameling waarin grondstoffen wordnen getransformeerd ot eindproducten, die weer nieuwe mogelijkheden en nieuwe recombinaties opleveren. Wat een opmerkelijk inzicht oplevert. Kan één en hetzelfde idee, de wiskundige formulering van emergentie, sterk uiteenlopende systemen als cellen, economieën en wellicht zelfs kosmische evolutie verklaren? Kaufmann en zijn medeauteurs zeggen met een milde vorm van understatement, dat ze denken dat deze ideeën het waard zijn verder onderzocht en uitgewerkt te worden. Dit betekent dat het domein waarin we naar leven kunnen zoeken, enorm wordt uitgebreid. Werkelijk alle systemen waarin zich voldoende complexe autokatalytische verzamelingen kunnen vormen, vormen een denkbare bakermat voor levensvormen.
Wiskunde zit vol met magie. Helaas doen op de middelbare school sommige docenten hun uiterste best om leerlingen wiskunde een moeilijk en saai vak te laten vinden. In deze korte video van iets meer dan een minuut maak je kennis met acht simpele en tegelijkertijd wonderbaarlijke formules in de wiskunde.
Zouden we inderdaad in een wiskundig stelsel leven?
Garrett Lisi, zowel fanatiek surfer als natuurkundige, bedacht een geometrisch model voor een theorie van alles die in deze korte video van minder dan een minuut uit wordt gelegd.
Hierin zijn alle deeltjes ondergebracht uit het Standaardmodel plus nog onontdekte zwaartekrachtsdeeltjes en het Higgs boson. Lisi past alle deeltjes in in E8. E8 is een acht-dimensionele Lie groep, een symmetrische wiskundige structuur met enkele bijzondere eigenschappen. In Lisi’s model met 248 punten kunnen alle 40 bekende deeltjes en krachten worden ondergebracht. De overblijvende 20 lege plaatsen worden bezet door nieuwe, nog onontdekte deeltjes.
Uniek aan Lisi’s theorie is dat ook de zwaartekracht er deel van uitmaakt en dat de theorie een elegant wiskundig geheel vormt. Dat is met bijvoobeeld de snaartheorie of het Standaardmodel wel anders.
Lisi maakte de onderstaande animatie van zijn theorie.
Of Lisi gelijk heeft weet ik niet, maar zijn theorie is in ieder geval heel beknopt en elegant.
Een tot nu toe onmogelijke berekening, het rechtstreeks berekenen van de oppervlakte van een zogeheten Sierpinski tapijt, een fractal, is nu voor het eerst in de geschiedenis exact gelukt. Er is alleen één maar. De schoolboekjes zouden wel eens herschreven moeten kunnen worden, want hiervoor gebruikte de ontdekker een nieuwe soort wiskunde.
Oneindigheden bezorgen wiskundigen hoofdbrekens
Voor wiskundigen is omgaan met oneindigheden erg lastig. Oneindigheden komen vaak voor in wiskundige vraagstukken, denk bijvoorbeeld aan het aantal denkbare getallen tussen nul en één of alle iteraties in een fractal. Een nieuw type wiskunde stelde de uitvinder daarvan nu in staat, de oppervlakte van een Sierpinski tapijt te berekenen.
Het Sierpinski tapijt na enkele stappen. De exacte oppervlakte berekenen was tot nu toe onmogelijk. Bron: (1)Wat is een Sierpinski tapijt?
Stel je voor, je neemt een vierkant stuk papier. Je verdeelt het in negen kleinere vierkantjes en je knipt het middelste vierkant er uit. Deze procedure herhaal je met de overgebleven vierkantjes tot in het oneindige. Wat je uiteindelijk krijgt is een zogeheten Sierpinski tapijt, een tweedimensionale fractal met oneindig veel gaatjes. Er is ook een driedimensionale variant, de Menger spons. Wiskundig levert het berekenen van de inhoud van de Menger spons vergelijkbare moeilijkheden op als de oppervlakteberekening van het Sierpinski tapijt.
Oppervlakte alleen indirect te berekenen
De oppervlakte van een Sierpinski tapijt is, afhankelijk van het aantal iteraties, (8/9)n. Omdat de noemer van deze breuk sneller toeneemt dan de teller, denken wiskundigen dat de oppervlakte na een oneindig aantal iteraties nul moet zijn. Wiskundig uitgedrukt:[latex]\lim_{x\to \infty } \, \left(\frac{8}{9}\right)^x=0[/latex]. Een rechtgeaarde wiskundige voelt zich hier niet lekker bij. Immers: dit is geen rigide, formele afleiding.
Ook kunnen wiskundigen niet het gedrag van bijvoorbeeld de Sierpinski driehoek bestuderen omdat limieten trekken een nogal destructieve procedure is. Het is bijvoorbeeld niet mogelijk vanaf de einduitkomst terug te rekenen naar de oorspronkelijke fractal. Met andere woorden: één eindresultaat kan verschillende beginuitkomsten hebben. Een absurd resultaat in dit geval. Maar helaas. Rechtstreeks berekenen gaat niet, omdat wiskundigen daar niet de geschikte wiskunde voor hebben.
Rekenen met oneindig
Of liever gezegd: niet hadden. Yaroslav Sergeyev, een wiskundige verbonden aan de Universiteit van Calabrië in Italië is er in geslaagd dit probleem op te lossen met een nieuw type door hem ontwikkelde wiskunde: infinity computing. Het idee hierachter: vervang oneindig door een nieuw getal, dat Sergeyev grossone noemt, wat hij noteert als een één met een rondje er om heen: . Hij voegt een nieuw axioma aan de getallentheorie toe, het “oneindige eenheid axioma”, wat er op neerkomt dat naast de natuurlijke getallen, ook het oneindige getal grossone voorkomt. Omdat grossone zich net zo gedraagt als andere getallen in de getallentheorie kan je er mee optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, zoals dat ook kan met andere reële getallen. Zo wordt rekenen met oneindigheden opeens een stuk makkelijker. Sergeyev gebruikt hiervoor een (gepatenteerde) rekenmethode die hij de “infinity computer” noemt. Hierin is het extra axioma ingebouwd en kan er echt gerekend worden met oneindig en infinitesimaal kleine waarden.
Oneindig min één
Om de kracht van zijn methode te demonstreren, rekende hij ermee aan het Sierpinski tapijt. Hij kan nu bijvoorbeeld teruggaan tot één stap voor oneindig (grossone-1). Zo kan hij toch onderscheid maken tussen een berekening die start met een vierkant met een gat erin (dus waarbij stap 1 plaats heeft gevonden) en een vierkant zonder gat. Als een vierkant zonder een gat grossone iteraties vergt, kost een vierkant met een gat grossone-1 iteraties. Hiervoor was dit onmogelijk bij te houden.
De universiteit van Calabrië ligt niet ver van de stad Elea (in de naburige provincie Campania) waar de Griekse filosoof Zeno zijn beruchte paradoxen met oneindigheden bedacht. Misschien is het passend dat in dezelfde regio waar het spook der oneindigheden werd opgeroepen, het ook getemd wordt. Helaas met een commercieel sausje, zie [2].
Wat gebeurt er met een voorwerp als je het roteert in vier dimensies tegelijkertijd? In deze video gebeurt precies dat. Een kijkje op de bizarre verschijnselen die extra dimensies met zich meebrengen.
Tot slot een bizarre vier-dimensionale fractal, een mandelbulb, die over de x-y as roteert. Let op de spookachtige vormveranderingen.
Wat krijg je als je een Möbiuslus transformeert naar een hogere dimensie? Antwoord: een bizar voorwerp, bekend als een Klein-fles, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein, die dit bizarre voorwerp voor het eerst beschreef in 1882. Het absurde aan deze fles is dat de binnenkant tegelijkertijd ook de buitenkant is. Net zoals de Möbiuslus maar één vlak heeft, heeft de fles van Klein maar één zijde. Deze video vertelt meer.
![Het Sierpinski tapijt na enkele stappen. De exacte oppervlakte berekenen was tot nu toe onmogelijk. Bron: [1]](https://www.visionair.nl/wp-content/uploads/2012/03/Sierpinski-carpet.gif)
