Hoe zou de wereld er uit zien als het heelal een dimensie meer zou hebben dan de drie ruimtedimensies en tijddimensie die het volgens de relativiteitstheorie heeft? Volgens sommige theorieën zijn er in totaal vijf dimensies: vier ruimtedimensies en een tijddimensie. Deze korte video van iets meer dan zes minuten doet de voornaamste geheimen van de vierdimensionale ruimte uit de doeken.
Sommigen denken dat we door in een vierde ruimtedimensie te reizen, in een heel ander heelal terecht komen dat parallel aan het onze ligt, maar waar de natuurwetten en de geschiedenis anders zijn dan hier. Een mogelijkheid is dat het om een parallel heelal gaat, zoals voorspeld door de Veel Werelden Interpretatie van de kwantummechanica. In een buurheelal zijn dan bijvoorbeeld de Neanderthalers niet uitgestorven, maar de mens (dat scheelde overigens maar weinig). Het is ook mogelijk dat de natuurconstanten heel iets afwijken van de waardes in dit heelal. Sterren zouden dan bijvoorbeeld veel kleiner of veel groter zijn, afhankelijk van de verhouding tussen de elektromagnetische kracht en de sterke kernkracht.
De Duitse wiskundige Hilbert bedacht het oneindige hotel om de absurde eigenschappen van het begrip oneindig aan te tonen. Laat je meevoeren in deze korte, grappige video.
Wat staat mensen (of andere intelligente wezens) te doen wanneer alles ontdekt is? Het is bepaald niet zeker of dit nooit zal lukken, maar dat weerhoudt ons er niet van erover te speculeren.
Mensen ontdekken graag dingen, bijvoorbeeld nieuwe planten, continenten, wiskundige stellingen, natuurwetten, fossielen of leefbare planeten. De afgelopen tienduizenden jaren heeft de mensheid vanuit Oost Afrika een flink deel van het landoppervlak van de aarde gekoloniseerd, en is ondertussen begonnen aan de ruimte. De laatste eeuwen heeft de wetenschap een hoge vlucht genomen. Waar ontdekkingsreizigers en wetenschappers vaak gedreven worden door nieuwsgierigheid, hebben hun resultaten enorme, vooral positieve, gevolgen voor onze maatschappij en ons wereldbeeld. Stel nu dat er ooit een tijd komt dat we overal geweest zijn en alle natuurwetten bekend zijn[1], en we dus niks meer te ontdekken hebben[2].
Poststempel ter ere van de ontdekking van het 23e Mersenne priemgetal in 1963
Wat dan?
Een voor de hand liggende mogelijkheid is dat we ons hier niet druk om maken en al onze tijd in virtual reality werelden doorbrengen, waarin we het enorm naar ons zin hebben met virtuele avonturen en ontdekkingen. Veel mensen zien dit vast wel zitten. Echter, sommigen zullen behoefte blijven hebben aan échte ontdekkingen. Gelukkig is er een onuitputtelijk reservoir van onontgonnen informatie, beter bekend als getallen.
De ontdekking van een nieuw bijzonder getal zou een sensatie betekenen waar verveelde mensen met smart op hebben zitten wachten; eindelijk weer een stukje echt nieuwe informatie, weer iets om toe te voegen aan Wikipedia! Veel energie en rekenkracht zou hierin geïnvesteerd worden.
Welke getallen zijn interessant?
Populaire getallen waar nu al fanatiek op gejaagd wordt zijn Mersenne priemgetallen. Deze hebben de vorm 2n – 1, met n een natuurlijk getal, bijvoorbeeld 3 (met n=2), 7 (n=3), 31 (n=5) en 127 (n=7). Inmiddels zijn er 47 bekend, de laatste 13 met het gedistribueerde project GIMPS, maar is er nu al 2,5 jaar geen nieuwe meer gevonden. De grootste heeft een exponent n van ruim 43 miljoen en is ook het grootst bekende priemgetal.
Niet altijd was men enthousiast over het zoeken naar Mersenne priemgetallen. In 1811 schreef de Engelse wis- en natuurkundige Peter Barlow: “231 -1 is op dit moment het grootst bekende [Mersenne priemgetal], en waarschijnlijk het grootste dat ooit ontdekt zal worden; want omdat ze slechts curiositeiten zijn, zonder nut, is het onwaarschijnlijk dat iemand zal proberen een grotere te vinden.”[3]
We zullen het de heer Barlow vergeven dat hij de opmars van de computer later in zijn millennium niet voorzag (Babbage bedacht zijn mechanische computer pas een jaar later, om over electronica maar niet te spreken). Niettemin, ruim voor het wonderjaar 1952 had men al veel grotere Mersenne priemgetallen ontdekt dankzij een puur wiskundige doorbraak, die later zou uitgroeien tot de Lucas-Lehmer test. Deze wordt vandaag de dag nog steeds succesvol gebruikt om nieuwe Mersenne priemgetallen te vinden.
In de Pieterskerk in Leiden is deze (gerestaureerde) grafsteen van Van Ceulen gewijd aan zijn indrukwekkende werk aan pi
Een ander getal dat regelmatig in het nieuws komt, is pi. De Duits-Nederlandse wiskundige Ludolph van Ceulen gebruikte een oude techniek met veelhoeken om dit getal tot op 35 decimalen te berekenen, waarmee hij officieus de geometrische periode van de wiskunde afsloot. Latere records werden gevestigd met behulp van moderne analytische methodes, en ook hier schoot computerkracht te hulp. Recentelijk berekenden twee Japanners pi tot op 10 biljoen (1013) decimalen[4].
Wat is het nut?
Maar, waarom zoeken we nu al naar nieuwe recordgetallen, aangezien er nog genoeg praktisch relevantere dingen te ontdekken vallen. Heeft dit nut?
Een klein beetje, maar de belangrijkste reden is toch nieuwsgierigheid: de wens om iets nieuws en moois te ontdekken. Praktische redenen zijn: het ontdekken van efficiëntere rekenmethodes, publiciteit voor wiskunde, het interesseren van kinderen in wiskunde, de eer of geldelijk gewin, en het controleren van hardware (denk aan de Pentium bug).
Het huidige enthousiasme voor het ontdekken van nieuwe getallen, of meer decimalen van speciale getallen, bij een relatief kleine groep bewijst dat we hier nooit mee zullen ophouden, zeker niet wanneer andere terreinen van ontdekking een voor een wegvallen.
Bronnen en noten
[1] Dit is de situatie die Philipp von Jolly in 1878 al wat voorbarig voorzag toen hij Max Planck adviseerde om geen natuurkunde te gaan studeren.
[2] Als het heelal oneindig groot is (daar lijkt het nu op) zal de eindige reissnelheid ervoor zorgen dat er altijd nieuwe locaties te bezoeken zijn. Maar relatief (ten opzichte van het dan bekende universum) gaat dit op den duur zeer langzaam.
[3] Peter Barlow – An elementary investigation of the theory of numbers
[4] Pi 10 trillion The Prime Pages
Ik zat zelf altijd met problemen met wiskunde; ik snapte iets niet en had niemand die het me fatsoenlijk kon uitleggen. Soms kreeg ik wel uitleg maar snapte het na een aantal keer nog steeds niet en durfde dan niet nogmaals om uitleg te vragen aan de leraar terwijl ik het nog niet goed (genoeg) begreep. Als ik dan thuis aan mijn huiswerk zat, snapte ik weer eens totaal niet wat ik moest doen. Herkenbaar? Gelukkig is er een oplossing.
Khan Academy hielp me bij mijn wiskundeproblemen
Khan Academy is een gratis online videoschool en heeft al duizenden leerlingen met wiskundeproblemen geholpen.
Germen, medeoprichter van Visionair.nl, stuurde me deze weblink:
Op deze gratis toegankelijke website staan oefeningen voor onder andere wiskunde in alle soorten en maten, van optellen en aftrekken tot wiskunde op universitair niveau. Bij deze oefeningen horen per onderwerp ook video’s, waarin lastige wiskundige dingen op zo’n manier worden uitgelegd dat het kwartje vaak snel(ler) valt!
Alles is opgedeeld in een netwerk van losse stukjes, dus je kunt precies dat stukje opzoeken waar jij nog moeite mee hebt en daar de video bij bekijken en de oefeningen bij maken. Als je een account aanmaakt, wordt zelfs bijgehouden welke video’s je hebt bekeken. welke oefeningen je hebt gemaakt en wat je score daarbij was.
Het enige wat eventueel een minpuntje zóu kunnen zijn, is dat de man die deze site heeft opgericht Amerikaans is, dus alle oefeningen en video’s zijn in het Engels.
Voor mij (5VWO niveau) was dit echt geen probleem, maar misschien zouden de wiskundige termen in het Engels voor iemand anders wel problemen kunnen opleveren.
Als voorbeeld, de video van de kettingregel:
Ik vind dit echt een ideale site, en een geweldig initiatief. Het heeft mij zeker al geholpen op een aantal onderdelen, en ik vind het jammer dat het niet wat bekender is, want het kan vast vele anderen ook helpen.
Video-onderwijs als de Khan Academy zou wiskunde voor heel veel leerlingen struikelvak-af maken
Als dit meer gebruikt zou worden, of geïntegreerd zou worden in het studie/scholensysteem, zou dit veel kunnen betekenen voor de toekomst van het lesgeven. Zo zouden er minder verplichte lesuren op school kunnen komen, en meer zou vanuit huis gedaan kunnen worden.
Omdat je zelf de tijdstippen kunt bepalen, zou dit waarschijnlijk efficiënter en sneller gaan = nog meer tijdsbesparing.
In mijn omgeving kende echt niemand, niet één persoon deze site. Als dit een onderdeel van de lesstof zou worden, denk ik dat dit een stap vooruit zal zijn. Tenslotte ligt de toekomst gedeeltelijk in het Internet, dus zelfstudie via een website past mooi in dat plaatje.
Wiskunde blijkt vaak griezelig goed in het beschrijven van de natuur. Zo voorspelde de wiskundige structuur van Maxwell’s elektromagnetische theorie het bestaan van licht en de grootte van de lichtsnelheid. Maar waarom?
Deze bloemkoolcultivar gedraagt zich precies als een zuiver-wiskundige fractal.
Wiskunde blijkt verbluffend geschikt om de structuur van de natuur te beschrijven. De zwaartekracht kan met een eenvoudige kwadratische vergelijking of, voor het zwaardere werk, met enkele differentiaalvergelijkingen beschreven worden. Hetzelfde geldt voor de astrofysica van bijvoorbeeld sterren. In de woorden van Albert Einstein​ zelf: “Hoe is het mogelijk dat wiskunde, een product van het menselijke denken dat onafhankelijk is van onze waarneming, de objecten in de fysische realiteit zo nauwkeurig beschrijft?â€
Sterker nog: het blijkt zelfs dat als wiskundigen iets uitvinden of, anders geformuleerd, ontdekken, dit in de meeste gevallen terug wordt gevonden in de natuur. Een mooi voorbeeld is de chaostheorie en fractals. Nadat meteoroloog en wiskundige Lorentz de merkwaardige dingen die hij bij weersimulaties aantrof – een minieme verstoring bleek een totaal ander weerbeeld op te leveren – in wiskundige vorm goot, bleken chaotische systemen en vreemde attractoren overal voor te komen.
Mogelijk is de oorzaak dat wiskunde de eenvoudigst denkbare manier is waarop een systeem kan werken. Ook zijn onze hersenen natuurlijk niet uit het luchtledig ontstaan, maar onderworpen aan de natuurkundige processen waar de rest van onze wereld ook aan onderworpen is. We induceren een abstracte wereld als wiskunde uit onze dagelijkse ervaringen. Als deze abstracte wereld er eenmaal is, gaat deze haar eigen leven leiden.
Dit hoeft echter niet zo te blijven. Mogelijk ligt er onder deze realiteit een realiteit die niet met onze bekende wiskundige taal te beschrijven is. Als dat zo is, zal het waarschijnlijk nooit, of pas na het ontwikkelen van een heel nieuwe wiskundige taal, lukken om deze realiteit te beschrijven.
De mysteries van oneindigheid kunnen ons tot voorbij de grenzen van onze wiskunde brengen – en mogelijk compleet nieuwe werelden openleggen. Zou de ontwikkeling van kwantumzwaartekrachtstheorie stagneren omdat onze wiskunde incompleet is? En is Ultimate L de wiskundige theorie van alles?
Continuümhypothese na eeuw nog steeds onopgelost
Ultimate L voegt verschillende wiskundige werelden samen tot één multiversum.
David Hilbert, een wiskundige die leefde rond het begin van de twintigste eeuw, gaf op een congres van wiskundigen een lijst van 23 onopgeloste vraagstukken. Een eeuw later zijn veel van deze wiskundige vraagstukken opgelost, of is vastgesteld dat ze te vaag geformuleerd zijn om te beantwoorden. Anderen, zoals de Riemann hypothese, zijn dat nog steeds dat: een hypothese. (Kan je deze bewijzen, dan staat er een miljoen dollar op je te wachten. Dus wees er snel bij, voor de dollars waardeloos worden).
Het allerbelangrijkste vraagstuk is echter blijven liggen: de continuümhypothese. In het kort komt deze neer op de stelling, dat er geen verzameling denkbaar is met een aantal tussen het aantal gehele getallen (…, -1, 0, 1, 2, 3 …, bijvoorbeeld) en het aantal reële getallen (- 0,1; 0.01; √2; Ï€ etc.) Op het eerste gezicht lijkt dit een vreemde vraag. Immers: van beide verzamelingen is het aantal oneindig groot. De depressieve wiskundige Georg Cantor heeft echter in de negentiende eeuw aangetoond dat er verschillende oneindigheden zijn. Dit deed hij met een vernuftige truc: hij zette alle denkbare reële getallen, uitgeschreven als decimale breuk, op een rij, pakte een diagonaal en telde vervolgens bij elke decimaal 1 op (dus 0,112290 wordt 0,223301). Stel dat het getal dat zo ontstaat voorkomt in de lijst, dan moet het op een gegeven moment zichzelf kruisen. En dat kan niet, want per definitie is op dat punt de decimaal 1 groter dan die van het getal.
Zo komen we op meer intuïtief merkwaardige beweringen. In een enkel kort lijnstukje zitten meer punten dan er gehele getallen zijn en evenveel punten als in een vlak, een bol of wat dat betreft ons universum. Helaas bleken alle pogingen om de continuümhypothese te bewijzen tot nu toe vruchteloos. Het is al wel gelukt om aan te tonen dat er precies evenveel gehele getallen zijn als positieve gehele getallen, even getallen et cetera. Als deze verzamelingen maar oneindig zijn en deelverzamelingen van het aantal gehele getallen. De grootte van deze verzamelingen wordt aangeduid met een kardinaalgetal. Het aantal natuurlijke getallen is alef nul, het aantal reële getallen alef een enzovoort.
Of toch wel?
140 jaar nadat de continuümhypothese voor het eerst is geformuleerd, gelooft Hugh Woodin, een vooraanstaande Amerikaanse wiskundige dat hij dit probleem gekraakt heeft. Hiervoor gebruikte hij niet de wiskunde zoals we die kennen, maar een nieuwe, logisch veel strenger opgebouwde structuur die hij “ultimate L” heeft gedoopt.
We moeten volgens Woodin uit onze gangbare wiskundige wereld stappen en naar een hoger vlak (de man komt uit Californië) springen. Woodin is al geëerd door een ladder op de toren der oneindigheden naar hem te noemen. Dit niveau bevat gigantische getallen, genaamd Woodin kardinalen. Hiermee vergeleken valt zelfs alef één, dat de hoeveelheid reële getallen en aantal punten op een lijn aangeeft, in het niet.
We weten nu dat er allerlei bizarre heelallen mogelijk zijn waarin de meetkunde heel anders is dan in ons knusse heelal. Bron: Southern Polytechnic University, Georgia (US)
Verzamelingtheorie wordt vervangen door ultimate L
Woodin en andere wiskundigen ontdekten bepaalde patronen in reële getallen, universele Baire verzamelingen, die tevoorschijn springen in verschillende L-type werelden. Deze patronen veranderen op subtiele wijze de geometrie die mogelijk is in die wereld (gedragen zich dus als “natuurwetten”) en lijken een vorm van identificerende code voor deze werelden te zijn. Door de patronen als het ware in elkaar te weven, losten de grenzen die er tussen de verschillende werelden bestonden op en dook er een kaart van een wiskundig superuniversum op. Woodin noemde dit superuniversum ultimate L.
Ultimate L heeft een aantal prettige eigenschappen. Zo kan met behulp van Ultimate L worden bekeken of een bepaalde wereld consistent is met Ultimate L of niet. Ultimate L impliceert in het bijzonder dat Cantors hypothese waar is. Er is niets tussen de (telbare) gehele getallen en het continuüm. Een onverwachte uitkomst voor Woodin: tien jaar daarvoor had hij nog beweerd dat de continuümhypothese waarschijnlijk niet klopte. Ook kan de beruchte incompleetheidsstelling van Gödel uit veel wiskundige domeinen worden verjaagd.
Maar klopt ultimate L wel? Wat zijn de gevolgen?
Niet alle wiskundigen zijn overtuigd. Volgens anderen zijn er veel denkbare logische constructies om de wiskunde die we tot nu toe ontdekt hebben mee te formuleren. Zij denken dat er delen van het wiskundige multiversum zijn waarin de continuümhypothese waar is en andere delen waarin deze niet klopt. Weer anderen denken dat deze werelden netjes ondergebracht kunnen worden in Ultimate L. Zal Ultimate L ons de wiskundige structuur bieden waarmee we eindelijk de natuurkundige problemen kunnen kraken die ons al bijna een eeuw belemmeren om kwantummechanica en de relativiteitstheorie samen te voegen? Al eerder bleek een wiskundige doorbraak, de differentiaalrekening, te leiden tot een doorbraak in de natuurkunde: de zwaartekrachtswetten van Newton. Dus die kans is heel wel aanwezig.
Stel dat we allemaal in een enorme wiskundige theorie leven, bijvoorbeeld de natuurlijke getallentheorie. De gedachte is minder gek dan het lijkt. Zo wordt namelijk een netelig filosofisch probleem opgelost. En is wat een Big Bang lijkt is iets heel anders. De gedachte dat we in een wiskundige theorie leven, is niet nieuw en kent een eerbiedwaardige voorgeschiedenis. De Griekse filosoof en mysticus Pythagoras geloofde met zijn aanhangers, de Pythagoreeërs, dat ons heelal uit getallen bestaat.
De Pythagorasboom, een vroege fractal, bedacht door de Nederlandse wiskundeleraar Albert Bosman lijkt levend, maar is een wiskundige structuur.
Alles is wiskunde Pythagoras ontleende zijn ideeën waarschijnlijk van eerdere, Indische wijsgeren die als eersten werkelijk verbijsterend grote getallen construeerden. Zo is de grootste tijdeenheid in de hindoeïstische mystiek, de mahamanvantaram, zo’n 311,04 biljoen jaar: meer dan twintigduizend keer zo lang als de ouderdom van het heelal. De hele natuurkunde gaat uit van de veronderstelling dat het heelal op wiskundige wijze is te beschrijven. Met Pythagoras’ sekte liep het niet al te best af – ze bemoeiden zich te veel met politiek en boze ex-sekteleden begonnen een gewapende aanval – maar de ideeën van de Pythagoreeërs leefden voort en werden in de loop der eeuwen verder uitgewerkt in de vorm van wiskunde en natuurwetenschap.
Wat is wiskunde? Als enige exacte wetenschap is wiskunde zowel reëel als imaginair. Niemand heeft ooit het getal twee of een driehoek gezien; toch gedraagt een twaalftal knikkers zich precies zo als het getal twaalf: het kan slechts worden gedeeld door twee, drie, vier, zes en twaalf (of je moet ze kapotslaan: het dagelijks-leven equivalent van breuken). Deze eigenschap geldt voor alle objecten met een eigen ondeelbare identiteit, of het nu om elektronen, atomen, mieren, mensen, bakstenen, manen, planeten of sterren gaat. Het lijkt dus alsof getallen een metafysische realiteit hebben die ze overal in het heelal laat opduiken.
De grote wiskundige theorieën, denk aan TNT (typographical number theory, de natuurlijke getallentheorie), de meetkunde van Euclides of topologie zijn alle afgeleid van een beperkt aantal beginstellingen: axioma’s. Hierbij worden bepaalde simpele regels gevolgd. Zo is in de natuurlijke-getallentheorie het getal één datgene wat volgt op nul, notatie: S0 (successor van nul). Twee is wat volgt op één: S(S0), dus SS0. Enzovoort. Op die manier is uit de axioma’s van de getallentheorie elk natuurlijk getal te vormen. Uit een paar axioma’s ontstaat een explosie van stellingen, want door twee stellingen te combineren, ontstaan weer nieuwe stellingen.
Wat wiskunde ook een ijzersterke kandidaat maakt als kraamkamer voor een Theorie van Alles. Immers, er is geen onderliggend systeem nodig om wiskunde te produceren. Het is er al op het moment dat je de axioma’s (beginstellingen) bedenkt. Fysica die voortkomt uit metafysica.
Hoe zou een intelligent, uit wiskundige stellingen bestaand wezen zijn wereld zien? De oplossingen van sommige chaotische wiskundige systemen lijken om bepaalde punten heen te dansen: de verborgen attractoren.Stel, er bestaat een wiskundig stelsel dat met wat simpele bewerkingen heel veel complexiteit produceert. Hoe verder je af raakt van het beginaxioma, hoe groter het aantal mogelijke afgeleide stellingen. Dus zou het voor een intelligente waarnemer in dit stelsel het lijken alsof de ‘wereld’ in het ‘verleden’ veel kleiner was en in het verre verleden begonnen is met een ‘oerknal’ (de beginaxioma’s). Dit zou het heelal van het wezen ook een duidelijke tijdpijl verschaffen.
In veel wiskundige, chaotische systemen kennen we ook iets dat zich een beetje gedraagt als zwaartekracht (al zijn er uiteraard veel elementen die er niet overeenkomen): verborgen attractoren. Als het wezen om een verborgen attractor ‘draait’, zal hij dat ervaren als draaien om een zwaar object. Sommige stellingen leiden samen tot één onontkoombare eindconclusie: een zwart gat met een singulariteit in het centrum. Sneller dan het licht kan niet: elke stelling moet rigide afgeleid worden van eerdere stellingen zonder doorsteekjes. Kortom: het heelal van een dergelijk wezen zou wel eens veel op dat van ons kunnen lijken…
{Edit: n.a.v. de terechte op- en aanmerkingen van Attercopus bijgewerkt}
In een baanbrekend onderzoek is nu aangetoond dat evolutie veel sneller kan verlopen dan tot nu toe wiskundig voor mogelijk werd gehouden.
De velociraptor, een snelle roofdino en een nauwe verwant van de eerste vogels, kon niet vliegen, maar beschikte al wel over een lichte bouw en veren. Die eigenschappen komen namelijk ook van pas om snelle prooidieren te vangen. Bron: Wikipedia
Voor creationisten is de vermeende wiskundige onmogelijkheid van snelle evolutie een geliefd argument om de evolutietheorie mee naar het rijk der fabelen te wijzen.
De kans dat bijvoorbeeld de voorouder van de vogels of de vleermuizen door spontane mutaties ineens ging vliegen is vrijwel uitgesloten.
Wiskundige Herbert Wilf en twee gepensioneerde hoogleraren nemen in hun model aan dat iedere tussenliggende stap een klein evolutionair voordeel opleveren. Ze laten hiermee zien dat zich op deze manier een nieuwe eigenschap relatief snel kan ontwikkelen.
Uit eerdere computersimulaties is al bekend dat zich in slechts enkele honderden generaties uit een oogvlek een oog kan ontwikkelen. Nu is voor het eerst een rigide wiskundig model opgesteld.
Kortom: de creationisten kunnen weer op zoek naar een nieuw argument.
