getallen

Wat staat mensen (of andere intelligente wezens) te doen wanneer alles ontdekt is? Het is bepaald niet zeker of dit nooit zal lukken, maar dat weerhoudt ons er niet van erover te speculeren.

Mensen ontdekken graag dingen, bijvoorbeeld nieuwe planten, continenten, wiskundige stellingen, natuurwetten, fossielen of leefbare planeten. De afgelopen tienduizenden jaren heeft de mensheid vanuit Oost Afrika een flink deel van het landoppervlak van de aarde gekoloniseerd, en is ondertussen begonnen aan de ruimte. De laatste eeuwen heeft de wetenschap een hoge vlucht genomen. Waar ontdekkingsreizigers en wetenschappers vaak gedreven worden door nieuwsgierigheid, hebben hun resultaten enorme, vooral positieve, gevolgen voor onze maatschappij en ons wereldbeeld. Stel nu dat er ooit een tijd komt dat we overal geweest zijn en alle natuurwetten bekend zijn[1], en we dus niks meer te ontdekken hebben[2].

Wat dan?

Een voor de hand liggende mogelijkheid is dat we ons hier niet druk om maken en al onze tijd in virtual reality werelden doorbrengen, waarin we het enorm naar ons zin hebben met virtuele avonturen en ontdekkingen. Veel mensen zien dit vast wel zitten. Echter, sommigen zullen behoefte blijven hebben aan échte ontdekkingen. Gelukkig is er een onuitputtelijk reservoir van onontgonnen informatie, beter bekend als getallen.

De ontdekking van een nieuw bijzonder getal zou een sensatie betekenen waar verveelde mensen met smart op hebben zitten wachten; eindelijk weer een stukje echt nieuwe informatie, weer iets om toe te voegen aan Wikipedia! Veel energie en rekenkracht zou hierin geïnvesteerd worden.

Welke getallen zijn interessant?
Populaire getallen waar nu al fanatiek op gejaagd wordt zijn Mersenne priemgetallen. Deze hebben de vorm 2ⁿ – 1, met n een natuurlijk getal, bijvoorbeeld 3 (met n=2), 7 (n=3), 31 (n=5) en 127 (n=7). Inmiddels zijn er 47 bekend, de laatste 13 met het gedistribueerde project GIMPS, maar is er nu al 2,5 jaar geen nieuwe meer gevonden. De grootste heeft een exponent n van ruim 43 miljoen en is ook het grootst bekende priemgetal.

Niet altijd was men enthousiast over het zoeken naar Mersenne priemgetallen. In 1811 schreef de Engelse wis- en natuurkundige Peter Barlow: “2³¹ -1 is op dit moment het grootst bekende [Mersenne priemgetal], en waarschijnlijk het grootste dat ooit ontdekt zal worden; want omdat ze slechts curiositeiten zijn, zonder nut, is het onwaarschijnlijk dat iemand zal proberen een grotere te vinden.”[3]

We zullen het de heer Barlow vergeven dat hij de opmars van de computer later in zijn millennium niet voorzag (Babbage bedacht zijn mechanische computer pas een jaar later, om over electronica maar niet te spreken). Niettemin, ruim voor het wonderjaar 1952 had men al veel grotere Mersenne priemgetallen ontdekt dankzij een puur wiskundige doorbraak, die later zou uitgroeien tot de Lucas-Lehmer test. Deze wordt vandaag de dag nog steeds succesvol gebruikt om nieuwe Mersenne priemgetallen te vinden.

Een ander getal dat regelmatig in het nieuws komt, is pi. De Duits-Nederlandse wiskundige Ludolph van Ceulen gebruikte een oude techniek met veelhoeken om dit getal tot op 35 decimalen te berekenen, waarmee hij officieus de geometrische periode van de wiskunde afsloot. Latere records werden gevestigd met behulp van moderne analytische methodes, en ook hier schoot computerkracht te hulp. Recentelijk berekenden twee Japanners pi tot op 10 biljoen (10¹³) decimalen[4].

Wat is het nut?
Maar, waarom zoeken we nu al naar nieuwe recordgetallen, aangezien er nog genoeg praktisch relevantere dingen te ontdekken vallen. Heeft dit nut?

Een klein beetje, maar de belangrijkste reden is toch nieuwsgierigheid: de wens om iets nieuws en moois te ontdekken. Praktische redenen zijn: het ontdekken van efficiëntere rekenmethodes, publiciteit voor wiskunde, het interesseren van kinderen in wiskunde, de eer of geldelijk gewin, en het controleren van hardware (denk aan de Pentium bug).

Het huidige enthousiasme voor het ontdekken van nieuwe getallen, of meer decimalen van speciale getallen, bij een relatief kleine groep bewijst dat we hier nooit mee zullen ophouden, zeker niet wanneer andere terreinen van ontdekking een voor een wegvallen.

Bronnen en noten
[1] Dit is de situatie die Philipp von Jolly in 1878 al wat voorbarig voorzag toen hij Max Planck adviseerde om geen natuurkunde te gaan studeren.
[2] Als het heelal oneindig groot is (daar lijkt het nu op) zal de eindige reissnelheid ervoor zorgen dat er altijd nieuwe locaties te bezoeken zijn. Maar relatief (ten opzichte van het dan bekende universum) gaat dit op den duur zeer langzaam.
[3] Peter Barlow – An elementary investigation of the theory of numbers
[4] Pi 10 trillion
The Prime Pages