oneindigheid

Video: de paradoxen van oneindigheid

Bestaat oneindigheid? Volgens sommige wiskundigen wel, volgens andere niet. Feit is wel dat we met oneindig kunnen rekenen en het gedrag kunnen bekijken. En dan blijkt oneindigheid paradoxale eigenschappen te hebben.


Zo kan je in een oneindig “Hilbert Hotel” dat geheel bezet is, altijd nieuwe gasten onderbrengen. Laat elke gast verhuizen naar een kamer met een twee keer zo hoog kamernummer. En zo zijn er meer. Zo zijn er meer getallen tussen nul en één, dan gehele getallen.
Bestaat iets dat groter is dan we ooit waar zullen kunnen nemen? Of is dit een oefening in futiliteit?

De oneindige kamer. Bron: museum Boymans van Beuningen

Lees ook
Verder dan oneindig

Bestaat oneindigheid wel?

Oneindigheid is een handig concept, wiskundig gezien. Natuurkundigen zitten daarentegen met hun handen in hun haar met theorieën, zoals de relativiteitstheorie, die worden geteisterd door oneindigheden. Vandaar dat er steeds meer stemmen opgaan om  oneindig als begrip af te schaffen. Is er een grootste eindig getal denkbaar?

Ver hoef je niet te zoeken om binnen de wiskunde op oneindigheden te stuiten. Zo liggen er oneindig veel reële getallen tussen nul en één. Meer zelfs dan het totale aantal natuurlijke getallen. Ook worden veel wiskundige en natuurkundige grootheden gedefinieerd door een limiet over een oneindig bereik te trekken. Ook in de natuurkunde komen veel oneindigheden voor. Volgens de algemene relativiteitstheorie storten sterren met een massa boven de Chandrasekharlimiet bijvoorbeeld ineen tot een punt met een oneindig hoge dichtheid, de singulariteit. Met omringende waarnemingshorizon ook wel bekend als zwart gat. Elektronen worden beschreven als puntdeeltjes. Natuurkundig beschrijf je dit met een Dirac delta-“functie”, een overigens handig gedrocht dat in feite de oppervlakte van een oneindig lange lijn op een eindige waarde (bijvoorbeeld één) stelt. Ongestraft kan dit niet. De deeltjesfysica werd geteisterd door oneindigheden. Meerdere Nobelprijzen werden uitgedeeld aan natuurkundigen die manieren uitvonden om hieraan te ontsnappen.

De oplossing, zegt de wiskundige Doron Zeilberger, is om oneindigheid als begrip af te schaffen. In plaats van oneindig stelt hij een getal voor – door hem N[0] genoemd, dat het grootst denkbare eindige getal is. Tel hier één bij op en het getal wordt gereset in nul. Ongeveer zoals in een computer; als je bij een byte-variabele met waarde 255 één optelt, springt deze weer op nul.

Er zijn inderdaad wiskundige functie waarbij oneindig snel in bijvoorbeeld min oneindig verandert: onder meer de tangensfunctie en meer in het algemeen, functies met de variabele in de noemer. De tangens neemt als de hoek de 90 graden (pi/2 rad) nadert, snel zeer grote waarden aan en is onbepaald bij 90 graden. Om hierna vanuit zeer grote negatieve waarden de nullijn weer te naderen.

Oneindigheden vormen een nachtmerrrie voor veel natuurkundigen. Wiskundigen zijn er daarentegen dol op.

Zou bijvoorbeeld de rij met natuurlijke getallen ooit ergens ophouden? Persoonlijk denk ik van niet. Er is een logisch begin aan de reeks natuurlijke getallen: de nul. Er is geen logisch einde. Wel is denk ik ruimtetijd niet wat het lijkt. Sommigen geloven dat er een elementaire minimumlengte bestaat: de Plancklengte. Er zijn proeven gedaan, waarbij het spectrum van gammaflitsen van honderden miljoenen lichtjaren weg gelegen bronnen, is vergeleken met dat van dichterbij gelegen flitsen. Is ruimtetijd korrelig, dan waren er hier veranderingen in opgetreden. Dit bleek niet het geval.Op het eerste gezixht lijkt het dus alsof de ruimte of zeer fijnkorrelig is, of helemaal niet korrelig.

Ik denk alleen dat ons vertrouwen in wat we als ruimte waarnemen, naief is. Er is alleen iets dat wij als ruimte waarnemen, omdat wij metingen kunnen doen aan deeltjes en andere objecten. De vrijheidsgraden van een golffunctie van een deeltje (bijvoorbeeld een elektron) worden bepaald door de ruimte waarin deze zich bevindt (bijvoorbeeld een doos). Door enkele kwantumfysici worden pogingen gedaan de bewegingsvergelijkingen zo te herschrijven dat ze  niet meer afhankelijk zijn van ruimte en tijd, maar puur interactie-georiënteerd worden. Dit is uiteraard hallucinerend moeilijk. Wel zou dit een oplossing betekenen om te ontsnappen aan de continuïteit van de ruimte.

Rekenen met oneindig nu mogelijk

Een tot nu toe onmogelijke berekening, het rechtstreeks berekenen van de oppervlakte van een zogeheten Sierpinski tapijt, een fractal, is nu voor het eerst in de geschiedenis exact gelukt. Er is alleen één maar. De schoolboekjes zouden wel eens herschreven moeten  kunnen worden, want hiervoor gebruikte de ontdekker een nieuwe soort wiskunde.

Oneindigheden bezorgen wiskundigen hoofdbrekens
Voor wiskundigen is omgaan met oneindigheden erg lastig. Oneindigheden komen vaak voor in wiskundige vraagstukken, denk bijvoorbeeld aan het aantal denkbare getallen tussen nul en één of alle iteraties in een fractal. Een nieuw type wiskunde stelde de uitvinder daarvan nu in staat, de oppervlakte van een Sierpinski tapijt te berekenen.

Het Sierpinski tapijt na enkele stappen. De exacte oppervlakte berekenen was tot nu toe onmogelijk. Bron: (1)
Wat is een Sierpinski tapijt?
Stel je voor, je neemt een vierkant stuk papier. Je verdeelt het in negen kleinere vierkantjes en je knipt het middelste vierkant er uit. Deze procedure herhaal je met de overgebleven vierkantjes tot in het oneindige. Wat je uiteindelijk krijgt is een zogeheten Sierpinski tapijt, een tweedimensionale fractal met oneindig veel gaatjes. Er is ook een driedimensionale variant, de Menger spons. Wiskundig levert het berekenen van de inhoud van de Menger spons vergelijkbare moeilijkheden op als de oppervlakteberekening van het Sierpinski tapijt.

Oppervlakte alleen indirect te berekenen
De oppervlakte van een Sierpinski tapijt is, afhankelijk van het aantal iteraties, (8/9)n. Omdat de noemer van deze breuk sneller toeneemt dan de teller, denken wiskundigen dat de oppervlakte na een oneindig aantal iteraties nul moet zijn. Wiskundig uitgedrukt:. Een rechtgeaarde wiskundige voelt zich hier niet lekker bij. Immers: dit is geen rigide, formele afleiding.

Ook kunnen wiskundigen niet het gedrag van bijvoorbeeld de Sierpinski driehoek bestuderen omdat limieten trekken een nogal destructieve procedure is. Het is bijvoorbeeld niet mogelijk vanaf de einduitkomst terug te rekenen naar de oorspronkelijke fractal. Met andere woorden: één eindresultaat kan verschillende beginuitkomsten hebben. Een absurd resultaat in dit geval. Maar helaas. Rechtstreeks berekenen gaat niet, omdat wiskundigen daar niet de geschikte wiskunde voor hebben.

Rekenen met oneindig
Of liever gezegd: niet hadden. Yaroslav Sergeyev, een wiskundige verbonden aan de Universiteit van Calabrië in Italië is er in geslaagd dit probleem op te lossen met een nieuw type door hem ontwikkelde wiskunde: infinity computing. Het idee hierachter: vervang oneindig door een nieuw getal, dat Sergeyev grossone noemt, wat hij noteert als een één met een rondje er om heen: . Hij voegt een nieuw axioma aan de getallentheorie toe, het “oneindige eenheid axioma”, wat er op neerkomt dat naast de natuurlijke getallen, ook het oneindige getal grossone voorkomt. Omdat grossone zich net zo gedraagt als andere getallen in de getallentheorie kan je er mee optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, zoals dat ook kan met andere reële getallen. Zo wordt rekenen met oneindigheden opeens een stuk makkelijker. Sergeyev gebruikt hiervoor een (gepatenteerde) rekenmethode die hij de “infinity computer” noemt. Hierin is het extra axioma ingebouwd en kan er echt gerekend worden met oneindig en infinitesimaal kleine waarden.

Oneindig min één
Om de kracht van zijn methode te demonstreren, rekende hij ermee aan het Sierpinski tapijt. Hij kan nu bijvoorbeeld teruggaan tot één stap voor oneindig (grossone-1). Zo kan hij toch onderscheid maken tussen een berekening die start met een vierkant met een gat erin (dus waarbij stap 1 plaats heeft gevonden) en een vierkant zonder gat. Als een vierkant zonder een gat grossone iteraties vergt, kost een vierkant met een gat grossone-1 iteraties. Hiervoor was dit onmogelijk bij te houden.

De universiteit van Calabrië ligt niet ver van de stad Elea (in de naburige provincie Campania)  waar de Griekse filosoof Zeno zijn beruchte paradoxen met oneindigheden bedacht. Misschien is het passend dat in dezelfde regio waar het spook der oneindigheden werd opgeroepen, het ook getemd wordt. Helaas met een commercieel sausje, zie [2].

Bronnen
1. Yaroslav Sergeyev, Evaluating The Exact Infinitesimal Values Of Area Of Sierpinski’s Carpet And Volume Of Menger’s Sponge, ArXiv, 2012
2. Infinity Computer

Dutch