topologie

Het heelal zou wel eens veel weg kunnen hebben van één van de beroemdste pentekeningen van de Nederlandse kunstenaar Maurits Cornelis Escher. Dat is althans de strekking van een onderzoek dat ’s werelds bekendste wetenschapper, Stephen Hawking, verrichtte. Hawking claimt dat zijn nieuwe theorie in staat is een geschikte geometrie te scheppen, zodat de omstreden snaartheorie in overeenstemming kan worden gebracht met onze alledaagse wereld.

‘Onmogelijke’ wiskundige handigheid
De berekeningen door Hawking en zijn medewerkers berusten op een wiskundige kunstgreep, die tot nu toe onmogelijk werd geacht. Als de theorie de kritische tests van Hawkings collega’s overleeft, zou de theorie kunnen verklaren hoe het heelal ontstond uit de Big Bang en in staat zijn kwantummechanica en zwaartekracht met elkaar te verenigen. “We hebben een nieuw pad gevonden naar het ontwikkelen van snaartheoriemodellen van onze wereld,” aldus collega-theoretisch natuurkundige Thomas Hertog  van de Katholieke Universiteit Leuven die met Hawking samenwerkte aan het project.

Hyperbolische ruimte
De werken van Escher waar het hier om gaat zijn tesselaties, tegelpatronen van herhaalde vormen,zoals de elkaar afwisselende vormen van engelen en vleermuizen in de afbeelding Cirkellimiet IV.  Hoewel de afbeelding plat is, is het in feite een projectie op een plat vlak van een hyperbolische ruimte. Een hyperbolische ruimte is het tegenovergestelde van een boloppervlak. Een driehoek op een bol heeft hoeken die bij elkaar opgeteld meer zijn dan 180 graden. Voorbeeld: een driehoek met één punt op de noordpool, één op de evenaar ten zuiden van Greenwich en één op 90 graden oosterlengte, ook op de evenaar, kent drie rechte hoeken van 90 graden. Een driehoek op een hyperbolisch vlak heeft juist hoeken die opgeteld samen  minder dan 180 graden zijn. Een hyperbolisch vlak ziet er uit als een golvende houtzwam- of koraalachtige structuur. Probleem. Zeer nauwkeurige driehoeksmetingen in ons heelal wijzen uit dat we in een vrijwel volmaakt plat heelal leven.

Hoewel Einsteins algemene relativiteitstheorie nauwkeurig de waarnemingen verklaart, kent de theorie twee gebreken. De theorie kan de Big Bang niet verklaren en de theorie is in strijd met de kwantummechanica. Doorgaans hebben natuurkundigen daar geen last van, want op kwantumschaal speelt op aarde alleen de speciale relativiteitstheorie een rol. De relativiteitstheorie schept de ruimte waarin de kwantumprocessen zich afspelen. De snaartheorie verenigt beide theorieën en verklaart ook de Big Bang, maar is in strijd met wat we van dit heelal weten. De snaartheorie voldoet het beste in een heelal met een negatieve kromming (een hyperbolisch heelal dus) en een negatieve kosmische constante (welke het heelal verder zou doen instorten in plaats van, zoals we waarnemen, steeds sneller doet uitzetten).

Hawking, Hertog en James Hartle van de University of California, Santa Barbara, stellen nu een brug voor. Ze hebben een manier gevonden om met een negatieve kosmologische constante toch een uitzettend heelal te prouceren.  Goed nieus voor aanhangers van de snaartheorie, die er in het verleden flink van langs kregen  omdat hun theorie totaal niet overeen kwam met het heelal zoals we dit waarnemen en zelfs niet te toetsen is.

Kwantumkosmologie
In de tachtiger jaren ontwikkelden Hawking en Hartle een kwantumkosmologische theorie, waarin ze door middel van een golffunctie de waarschijnlijkheid beschreven dat bepaalde universa zich vormden na de Big Bang. Waaronder ook universa waarin de natuurwetten niet het ontstaan van aardachtig leven toelaten of de geschiedenis heel anders verliep dan in ons heelal. Ze probeerden hierbij een positieve kosmologische constante in hun universa te drukken. Een groot succes was dit niet. Snaartheoretici kampten met vergelijkbare problemen. Op de een of andere manier ging een positieve kosmologische constante niet samen met een wiskunstig realistische weergave van dit heelal.

Brug naar de snaartheorie
Hawking en zijn twee collega’s beschrijven nu een waaier aan universa die tevoorschijn komen van golffuncties met negatieve kosmologische constanten, waarvan sommige steeds sneller uitzetten.  Naar bleek, volgden deze automatisch uit het bestaan van de kwantumfunctie. Voor één golffunctie die ze onderzochten, bleek dit type heelal zelfs het waarschijnlijkste. De essentiële doorbraak kwam toen de groep zich realiseerde dat de golffunctie waarmee ze aan het spelen waren, omgezet kon worden in een bepaalde formulering van de snaartheorie, zoals geproduceerd door snaartheoreet Juan Maldacena in 1997.[2] “Er bleek een wiskundig erg elegant verband te bestaan,” aldus Hertog.
Toen ze deze wiskundige brug eenmaal op het spoor waren, besloot Hawkings team om de twee proberen samen te voegen door een nieuwe golffunctie op te stellen, deze keer met een negatieve kosmologische constante. Dit zou ze in staat stellen zowel het ‘elegante’ wiskundige plaatje van de snaartheorie te gebruiken als versnellend uitzettende heelallen produceren.

‘Heelal hyperbolisch op zeer grote schaal’
De wereld om ons heen is onmiskenbaar recht, Euclidisch, met drie dimensies die loodrecht op elkaar staan. Hawkings team denkt echter dat dit op kosmische schaal niet meer klopt en dat op zeer grote schaal er een kronkelig hyperbolische heelal ontstaat. De bedenker van de variant van de snaartheorie waarmee Hawking en de zijnen nu aan de haal gaan is vooralsnog sceptisch. Zo is hun model incompleet en houdt het er geen rekening mee dat bepaalde deeltjes, bijvoorbeeld elektronen en protonen, stabiel moeten zijn. Hij ziet niet in hoe hun afleiding kan worden omgezet in een meer complete theorie. Hertog is optimistischer. Weliswaar is hun werk nog verre van af, maar hij heeft goede hoop dat dit uiteindelijk kan leiden tot een realistische snaartheorie die ons heelal beschrijft.

Bronnen
1 Hartle, Hawking en Hertog, Accelerated Expansion from Negative Λ, ArXiv preprint server (2012)
2 Juan Maldacena, The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity, ArXiv preprint server (1997)
3 Hawkings’ Escher-verse could be Theory of Everything, New Scientist, 2012