kwantummechanica

Al tachtig jaar, sinds de huidige formulering van de kwantummechanica, is het een onopgeloste kwestie. We kunnen wel de waarschijnlijkheidsverdeling van een groot aantal dezelfde metingen voorspellen, maar niet de exacte uitkomst. Wiskundig wordt dit voorgesteld als een waarschijnlijkheidsgolf. Is deze golf een illusie, is er nog een verborgen variabele? Of vertoont hij de werkelijkheid, met andere woorden: is de kwantummechanische beschrijving van de golf volledig? Eindelijk is er nu een antwoord, zo lijkt het.

Wat wiskunde, gewoon om onze lezers te pesten
Het hart van kwantummechanica bestaat uit één enkele wiskundige vergelijking, de beroemde vergelijking van Schrödinger:

[latex]i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf{r},t) \Psi(\mathbf{r},t)[/latex]

Dit is een differentiaalvergelijking. Dat is een vergelijking die het verband beschrijft tussen een functie en zijn afgeleide (de functie die de verandersnelheid van de oorspronkelijke functie beschrijft). Deze beschrijft de waarschijnlijkheidsgolven van kwantumdeeltjes. De i betekent dat het een imaginair getal is (i is de wortel uit min één), de h is de (zeer kleine) constante van Planck, die de fundamentele onzekerheid weergeeft in joule seconde, energie maal tijd dus. Dit betekent: hoe zekerder je van de tijd bent, hoe onzekerder van de energie. Als h extreem groot zou zijn, zou je dus grondig ruzie krijgen met de elektriciteitsmaatschappij. Dan zou je overigens ook niet bestaan, want atomen zouden dan groter dan het melkwegstelsel zijn. Dus dat is dan weer een meevaller.
Aan de andere kant staat de hamiltoniaan. Deze geeft de hoeveelheid energie in het systeem aan. Voor een enkel deeltje is de Hamiltoniaan omgekeerd evenredig aan de massa. Daarom merken objecten met grote massa’s, zoals wij, niets van kwantummechanica in het dagelijks leven, best wel balen als je door een dichte deur wil tunnelen maar goed, terwijl voor een kleine massa, zoals een atoom, kwantummechanica allesbepalend is.

De eenvoudigste oplossing voor deze differentiaalvergelijking is een exponentiële functie met factor i er in, want de afgeleide van een e-functie is precies zichzelf maal het getal in de exponent: f(t)=e^it=> f'(t)=i.e^it. De functie f(t)=e^it gedraagt zich in de reële ruimte als een golf, om precies te zijn een harmonische trilling (sinus of cosinus). Als je een i ergens ziet opduiken in een wiskundige formule, weet je doorgaans dat het iets met golven te maken heeft. Nu is dit geen gewone golf, maar een waarschijnlijkheidsgolf. Hoe hoger de waarde, hoe groter de kans dat het deeltje zich op een bepaalde plaats (of in een bepaalde ruimte) bevindt. Is de waarde 1, dan bevindt het deeltje zich er zeker. Is die 0, dan bevindt het deeltje zich er zeker niet.

Is de waarschijnlijkheidsgolf werkelijk, of weten we niet alles?
Tot dan toe geloofden natuurkundigen, dat deeltjes ondeelbare punten of bolletjes zijn. Andere verschijnselen, zoals licht, bestaan uit golven. Nu weten we dat zowel licht als deeltjes golfdeeltjes zijn en dat letterlijk alles wat we kennen uit deze golfdeeltjes bestaat. Een meting legt tijdelijk een eigenschap vast, bijvoorbeeld de tijd, terwijl de energie van het deeltje zeer onzeker wordt.

Sommige natuurkundigen, waaronder Einstein, dachten dat deze meetonzekerheid een kunstmatig verschijnsel is, opgewekt door onze onwetendheid. Daarachter zou zich weer een keurig voorspelbaar heelal verschuilen. God dobbelt niet, is een befaamde uitspraak van Einstein. Anderen denken dat de meetonzekerheid fundamenteel is, of dat het gebrek aan kennis van de waarnemer fundamenteel is.

Eindelijk antwoord
Roger Colbeck van het Perimeter Institute in Waterloo, Ontario, Canada en Renato Renner die werkt aan de ETH in het Zwitserse Zürich, hebben nu een overtuigend argument aangedragen waarom de golffunctie inderdaad alles is wat een deeltje aan informatie draagt, m.a.w. de golfbeschrijving volledig is.

In hun artikel tonen Colbeck en Renner aan dat de golffunctie inderdaad een volledige beschrijving geeft van de werkelijkheid. Stel dat de golffunctie de realiteit representeert, dan betekent dat dat alle informatie beschikbaar is over het systeem, m.a.w. er ontbreekt niets. Toch kunnen we het gedrag in de toekomst niet met zekerheid voorspellen. Dat betekent dat er impliciet toeval bestaat in de natuur.

Golffunctie volledig
Hierbij baseren beide wetenschappers zich op twee ogenschijnlijk tegenstrijdige beweringen. Ten eerste: de golffunctie bevat alle elementen van de realiteit (m.a.w. is volledig). De tweede stelling, die in dit artikel wordt gepresenteerd: een volledige opsomming van alle elementen van een systeem bevat ook zijn golffunctie als element. Samengenomen betekenen deze twee stellingen dat de golffunctie van een systeem één op één staat met zijn elementen van de realiteit. Door te laten zien dat de golffunctie de realiteit volledig beschrijft, impliceert dit argument ook dat de kwantummechanica een volledige theorie is.

Weersvoorspeller
Renner legt dit uit aan de hand van een weersvoorspeller: de data en modellen die door de meteoroloog wordt gebruikt staat dan voor de golffunctie en de realiteit voor het werkelijke weer. Als data en weer 1:1 met elkaar overeenkomen, zouden we in een heel gunstige situatie zijn. De voorspelling zou dan zo accuraat zijn als theoretisch denkbaar: er zou geen onbekende informatie zijn.

Als er een 1:1 overeenkomst is tussen de golffunctie en de elementen van de realiteit, betekent dit dat het kennen van de golffunctie alleen voldoende is om de best denkbare voorspellingen te doen. De golffunctie is dan een optimale en volledige beschrijving van de werkelijkheid.

Tegendeel ontkracht
Een bekende techniek in de wiskunde is een stelling bewijzen door de onjuistheid van het tegendeel aan te tonen. In november 2011 deed een groep Britse natuurkundigen, Matthew F. Pusey, Jonathan Barrett en Terry Rudolph dit. Zij toonden aan dat subjectieve interpretatie van de golffunctie, dat wil zeggen: dat de golffunctie voor verschillende waarnemers verschillende betekenissen heeft, enkele logische veronderstellingen over kwantummechanica tegenspreekt, zoals dat meerdere systemen zo kunnen worden samengesteld dat hun onderdelen van die van elk ander systeem zijn geïsoleerd.

Vrije wil laatste ontsnappingspunt
Het resultaat gaat er van uit dat er zoiets als de vrije wil bestaat, m.a.w. een experimentator kan in principe vrij en willekeurig kiezen welke metingen hij uit wil voeren. Voor wie hierin gelooft, is de vraag nu opgelost. Bestaat deze vrije wil niet, althans wordt deze ingeperkt, dan klopt de afleiding niet. Het is immers in theorie denkbaar dat er een omgekeerd causaal verband bestaat, m.a.w. experimentele uitkomsten dwingen het doen van een bepaalde meting in het verleden af. Enkele bizarre experimenten lenen (zwakke) steun aan deze visie. Renner wil daarom in een toekomstige versie controleren of zijn redenatie ook klopt als aan wordt genomen dat er maar beperkte keuzevrijheid bestaat.

Bron Roger Colbeck en Renato Renner, “Is a System’s Wave Function in One-to-One Correspondence with Its Elements of Reality?” PRL 108, 150402 (2012). DOI: 10.1103/PhysRevLett.108.150402